|
Нахождение оптимального плана для центра
Рассмотрим методику исследования систем управления при следующих исходных данных: R= 600 единиц, p= 20000 руб.,  .
Сформулируем математическую постановку задачи. Запишем целевую функцию центра:
 . (1.1)
Сумма планов для агентов должна быть равна заказу, полученному центром:
 (1.2)
Оптимизационная задача (1.1)-(1.2) является задачей на условный экстремум. Её решение можно найти аналитическим и численным способами.
I способ: решение методом подстановки.
Выразим план для второго агента из ограничения (1.2)  и подставим в целевую функцию центра:
 .(1.3)
Таким образом, от задачи с двумя переменными и ограничением (1.2) перешли к задаче с одной переменной (1.3).
Для нахождения экстремума функции одной переменной продифференцируем и приравняем нулю выражение (1.3):
 .(1.4)
Решая уравнение (3.4), получим план для первого агента:
 .
Из ограничения (3.2) определим план для второго агента:
II способ: метод множителей Лагранжа.
Перепишем ограничение (1.2) в следующем виде:
 . (1.5)
Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (1.1) и ограничения (1.2), умноженного на множитель Лагранжа  :
 .
Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным  и приравняем к нулю:
Отнимем из первого уравнения второе, множитель Лагранжа сократится, получим систему из двух уравнений:
Решая полученную систему, определим планы для первого и второго агентов:
Определим максимальную прибыль центра:
Определим прибыль для первого и второго агента:
III способ: численное решение с помощью электронной таблицы Microsoft Excel.
Для решения оптимизационных задач в электронной таблице Excel существует специальная программа Solver, которая включена в систему как надстройка Поиск решения меню Сервис.
Алгоритм решения оптимизационной задачи в электронной таблице Microsoft Excel выглядит следующим образом:
)разработка структуры электронной таблицы;
)поиск решения с помощью программы Solver;
)анализ отчётов программы Solver.
Разработка структуры электронной таблицы включает в себя задание целевой функции, всех ограничений. Структура электронной таблицы для поиска оптимального плана центра представлена на рис. 1.1
Неизвестными переменными являются количество ресурса, выделяемое центром для первого и второго агента  . В качестве начальных приближений для неизвестных переменных можно выбрать любые значения из допустимой области, например, поделить ресурс R поровну между агентами  .
Для определения оптимального плана центра необходимо вызвать надстройку Поиск решения из меню Сервис. После вызова на экране появится диалоговое окно Поиск решения рис. 1.2. В поле Установить целевую ячейку необходимо ввести адрес ячейки, в которой вычисляется целевая функция. В данном примере это ячейка D16. Затем необходимо выбрать вид оптимизации: максимизация, минимизация, равенство значению путём установки специальной «галочки» в одно из полей, расположенных ниже поля Установить целевую ячейку.
|